Stellen wir uns einen Raum mit 23 zufällig ausgewählten Menschen vor.
Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens zwei von ihnen am selben Kalendertag Geburtstag haben?
10 Prozent?
20 Prozent?
Vielleicht 30 Prozent?
Die überraschende Antwort lautet:
Mehr als 50 Prozent.
Genauer sind es rund 50,7 Prozent.
Das klingt zunächst völlig absurd. Schließlich hat ein Jahr 365 Tage. Warum sollten bereits 23 Personen genügen?
Willkommen beim Geburtstagsparadoxon.
Unser Bauchgefühl stellt die falsche Frage
Intuitiv denken viele:
„Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand denselben Geburtstag hat wie ich?“
Das ist tatsächlich relativ unwahrscheinlich.
Aber darum geht es gar nicht.
Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwelche zwei Personen innerhalb der gesamten Gruppe denselben Geburtstag haben.
Und plötzlich gibt es sehr viele mögliche Paare.
Bei 23 Menschen sind es bereits:
23 × 22 ÷ 2 = 253 mögliche Paare.
253 Chancen auf eine Übereinstimmung.
Das verändert die Sache erheblich.
Wie berechnet man das?
Direkt auszurechnen, wie wahrscheinlich mindestens eine Übereinstimmung ist, wäre ziemlich umständlich.
Also benutzt die Mathematik einen eleganten Umweg.
Wir berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass alle 23 Personen unterschiedliche Geburtstage haben.
Für die erste Person ist jeder Geburtstag möglich:
365/365
Die zweite darf nicht denselben Geburtstag haben:
364/365
Für die dritte bleiben:
363/365
und so weiter.
Damit ergibt sich:
365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365
Das Ergebnis liegt bei ungefähr:
49,3 Prozent.
Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil, nämlich mindestens einen gemeinsamen Geburtstag:
100 % − 49,3 % = 50,7 %
Bereits bei 23 Menschen ist eine Übereinstimmung damit wahrscheinlicher als keine.
Und es wird sehr schnell ziemlich extrem
Bei 30 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit bereits bei rund:
70,6 Prozent
Bei 40 Personen:
89,1 Prozent
Und bei nur 50 Personen:
97,0 Prozent
Bei 70 Menschen sind es sogar ungefähr:
99,9 Prozent.
Man braucht also keineswegs 365 Menschen, damit gleiche Geburtstage wahrscheinlich werden.
Warum täuscht uns unsere Intuition?
Weil unser Gehirn offenbar lieber einzelne Personen betrachtet als sämtliche Beziehungen zwischen ihnen.
23 Menschen wirken nach wenig.
Aber 23 Menschen bilden 253 verschiedene Zweierpaare.
50 Menschen ergeben sogar:
1.225 Paare.
Und genau deshalb steigt die Wahrscheinlichkeit einer Übereinstimmung so schnell.
Das Geburtstagsparadoxon ist übrigens kein echtes mathematisches Paradoxon. Es enthält keinen logischen Widerspruch.
Es widerspricht lediglich sehr kräftig unserer Intuition.
Ein Experiment für die nächste größere Runde
Bei der nächsten Familienfeier, Vereinsversammlung oder größeren Sitzung kann man es ausprobieren.
Sind mindestens 23 Menschen anwesend, fragt man nach den Geburtstagen.
Die Chance, dass mindestens zwei Personen denselben Kalendertag nennen, liegt bereits über 50 Prozent.
Bei 40 Personen nähert sie sich 90 Prozent.
Und plötzlich wird aus einer ziemlich belanglosen Frage über Geburtstage ein bemerkenswertes Beispiel dafür, warum wir Menschen bei Wahrscheinlichkeiten regelmäßig danebenliegen.
Mathematik muss nicht kompliziert sein, um uns zu überraschen.
Manchmal reichen dafür 23 Menschen in einem Raum.
#Mathematik #Wissenschaft #Geburtstagsparadoxon #Wahrscheinlichkeit #Statistik #Zahlen #Wissen #Alltagsmathematik #Experiment #Mathe
Über den Autor
