Banach-Tarski: Eine Kugel wird zu zwei – aber nicht bei IKEA

vor 2 Wochen(Letzte Aktualisierung:vor 3 Wochen) 3 Minuten gelesen

Man nehme eine massive Kugel, zerlege sie in endlich viele Teile, verschiebe und drehe diese Teile und setze sie wieder zusammen. Das Ergebnis: zwei Kugeln, jede so groß wie die ursprüngliche. Klingt nach einem Rechenfehler – oder nach dem Geschäftsmodell, von dem IKEA bislang nur träumen kann.

Das Banach-Tarski-Paradoxon ist tatsächlich ein mathematischer Satz. In seiner bekannten Form besagt er, dass sich eine Kugel im dreidimensionalen Raum in endlich viele Punktmengen zerlegen lässt, aus denen sich durch Drehungen und Verschiebungen zwei identische Kugeln zusammensetzen lassen. Die Teile werden dabei weder gedehnt noch gestaucht.

Der Haken: Es sind keine gewöhnlichen Kugelstücke

Bei „zerlegen“ stellt man sich vielleicht Tortenstücke oder sauber geschnittene Segmente vor. Genau so funktionieren die Teile hier nicht. Es sind äußerst ungewöhnliche Mengen von Punkten, die mit keinem Messer, keiner Säge und keiner noch so präzisen Maschine aus einer realen Kugel herausgeschnitten werden könnten.

Der Beweis nutzt das Auswahlaxiom – ein Grundsatz der Mengenlehre, der vereinfacht gesagt erlaubt, aus sehr vielen Mengen jeweils ein Element auszuwählen, auch wenn es keinen konkreten Auswahlplan gibt. Dadurch entstehen Punktmengen, denen sich kein gewöhnliches Volumen zuordnen lässt. Für sie ist die vertraute Frage „Wie viel Raum nimmt dieses Stück ein?“ mathematisch nicht definiert.

Warum die Volumenrechnung nicht kaputtgeht

Normalerweise gilt: Das Volumen der Teile ergibt zusammen das Volumen des Ganzen. Und beim Verschieben oder Drehen bleibt das Volumen gleich. Wären die Banach-Tarski-Teile gewöhnlich messbare Körper, müsste die Verdopplung tatsächlich einen Widerspruch erzeugen.

Doch genau diese Voraussetzung gilt nicht. Für die speziellen Mengen aus dem Beweis lässt sich kein Volumen im üblichen Sinn angeben. Man kann also nicht erst die Volumina aller Teile addieren und dann feststellen, dass aus einer Kugel plötzlich zwei geworden sind. Die vertraute Volumenrechnung greift an dieser Stelle nicht. Der Satz widerspricht deshalb nicht der üblichen Geometrie – er zeigt eine Grenze dessen, worauf sie angewendet werden kann.

Ein mathematisches Gedankenexperiment, kein Bauplan

Das Paradoxon funktioniert im dreidimensionalen mathematischen Raum. Es ist kein Verfahren, mit dem man Materie vermehren könnte. Die Zerlegung verlangt Mengen, die nicht als handhabbare Gegenstände vorliegen und sich nicht physisch herstellen lassen.

Für IKEA bleibt die Lage also unverändert: Aus einem Billy-Regal werden durch geschicktes Drehen und Umstellen nicht zwei Billy-Regale. Aber die Mathematik hat einen überraschenden Gedanken hinterlassen: Nicht jede Ansammlung von Punkten besitzt ein Volumen, und „Teil“ muss nicht immer bedeuten, was unsere Anschauung darunter versteht.

Das Banach-Tarski-Paradoxon ist deshalb weniger eine Anleitung zum Kugelklonen als eine Einladung, genau hinzusehen, welche Regeln wir beim Wort „zerlegen“ eigentlich voraussetzen.