Es gibt mathematische Aussagen, bei denen sich der Verstand spontan weigert, sie zu akzeptieren.
Diese gehört definitiv dazu:
0,999… = 1
Nicht ungefähr 1.
Nicht aufgerundet 1.
Sondern exakt 1.
Das klingt zunächst vollkommen falsch. Schließlich gilt:
0,9 < 1
0,99 < 1
0,999 < 1
Also müsste doch auch 0,999… irgendwie ein winziges Stück kleiner als 1 sein.
Genau hier stellt uns die Unendlichkeit ein Bein.
Was bedeuten die drei Punkte?
Der entscheidende Unterschied steckt in:
0,999…
Die drei Punkte bedeuten nicht: „Da kommen noch sehr viele Neunen.“
Sie bedeuten:
Es kommen unendlich viele Neunen.
Es gibt keine letzte 9.
Deshalb können wir auch nicht sagen, hinter der letzten 9 fehle noch ein winziger Betrag bis zur 1.
Denn eine letzte 9 existiert überhaupt nicht.
Ein erstaunlich einfacher Beweis
Nennen wir unsere Zahl einfach x:
x = 0,999…
Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit 10:
10x = 9,999…
Nun ziehen wir die ursprüngliche Gleichung davon ab:
10x = 9,999…
− x = 0,999…
Die unendlichen Nachkommastellen verschwinden:
9x = 9
Also:
x = 1
Aber am Anfang hatten wir festgelegt:
x = 0,999…
Damit folgt zwangsläufig:
0,999… = 1
Noch einfacher geht es mit einem Drittel
Fast jeder kennt:
1 ÷ 3 = 0,333…
Multiplizieren wir beide Seiten mit 3:
3 × 1/3 = 3 × 0,333…
Links erhalten wir:
1
Rechts:
0,999…
Also wieder:
1 = 0,999…
Aber da muss doch irgendetwas fehlen!
Das ist der Punkt, an dem sich unsere Intuition besonders hartnäckig wehrt.
Man könnte denken:
Zwischen 0,999… und 1 müsste doch ein unvorstellbar kleiner Abstand liegen.
Nennen wir ihn beispielsweise:
0,000…001
Das Problem ist nur:
Diese Zahl existiert in diesem Sinn nicht.
Denn wie viele Nullen sollen vor der 1 stehen?
Eine Million?
Dann ist die Zahl zwar winzig, aber größer als null.
Eine Billion?
Dasselbe Problem.
Egal wie viele Nullen wir einsetzen, es sind immer endlich viele.
Bei 0,999… reden wir aber von unendlich vielen Nachkommastellen.
Es gibt keine Stelle, an der wir nach „allen Neunen“ noch eine 1 einsetzen könnten.
Zwei Schreibweisen für dieselbe Zahl
Das eigentliche Geheimnis ist deshalb ziemlich unspektakulär:
0,999… und 1 sind keine zwei verschiedenen Zahlen, die extrem dicht nebeneinanderliegen.
Sie sind zwei verschiedene Schreibweisen derselben Zahl.
So wie:
1/2 = 0,5
oder
2/4 = 0,5
unterschiedliche Schreibweisen denselben Wert darstellen.
Auch andere Dezimalzahlen besitzen solche Darstellungen:
0,4999… = 0,5
1,24999… = 1,25
und eben:
0,999… = 1
Unser Gehirn stolpert über die Unendlichkeit
Warum erscheint uns das trotzdem falsch?
Weil wir uns automatisch eine lange, aber endliche Reihe von Neunen vorstellen.
Bei
0,999999999
fehlt tatsächlich noch etwas bis zur 1.
Aber egal, wie viele Neunen wir hinschreiben, haben wir damit niemals 0,999… vollständig geschrieben.
Die drei Punkte verändern alles.
Sie machen aus „sehr vielen“ plötzlich:
unendlich vielen.
Und Unendlichkeit verhält sich eben nicht immer so, wie unser alltägliches Denken es erwartet.
Deshalb ist
0,999… = 1
kein mathematischer Trick und kein Rundungsfehler.
Es ist eine exakte Gleichheit.
Und wer trotzdem überzeugt ist, zwischen beiden Zahlen müsse noch etwas liegen, steht vor einem kleinen Problem:
Er müsste eine Zahl finden, die größer als 0,999… und gleichzeitig kleiner als 1 ist.
Viel Erfolg dabei.
Die Mathematik wartet geduldig.
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